Perbandingan berbalik nilai adalah hubungan antar dua variabel yang hasil kali keduanya menghasilkan bilangan yang sama, atau konstan. Dalam perbandingan ini apabila nilai suatu komponen naik, maka nilai komponen yang lain akan menurun. Misalnya ketika berangkat ke sekolah menggunakan sepeda tentu waktu yang dibutuhkan untuk sampai ke sekolah akan berbeda apabila mengayuh sepeda dengan cepat bila dibandingkan dengan ketika mengayuh sepeda dengan lambat. Semakin cepat mengayuh sepeda, maka waktu yang dibutuhkan untuk sampai di sekolah akan semakin sedikit.
Ayo Kita Amati
Kecepatan dan waktu tempuh
Alan mengendarai sepeda motor dan menempuh jarak 480 km ketika mudik. Setiap kali mudik, dia mencoba dengan kecepatan rata-rata yang berbeda dan mencatat lama perjalanan. Tabel 5.3 di bawah ini menunjukkan kecepatan rata-rata motor dan waktu yang ditempuh.
Alan menguji tabel yang dibuatnya untuk mengetahui hubungan antara kecepatan dan waktu selama perjalanan yang berjarak 480 km.
Ayo Kita Menggali Informasi
Alan ingin mengetahui lama perjalanan yang ditempuh jika dia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Alan menyelesaikannya seperti berikut.
80 × 6 = 480
75 × 6,4 = 480
60 × 8 = 480
40 × 12 = 480
Alan menggunakan persamaan untuk menentukan waktu yang ditempuh dengan kecepatan 50 km/jam. Dengan mesubstitusi 50 km/jam untuk nilai x, dapat ditentukan nilai y, waktu yang ditempuh.
Ayo Kita Menalar
Setelah kalian mengamati, menanya, dan menggali informasi dari Masalah 5.2. Tuliskan jawaban
pertanyaan berikut pada buku catatan kalian dan diskusikan dengan temanmu.
Persamaan yang terbentuk adalah y = 480/x . y adalah waktu yang ditempuh dan x adalah kecepatan rata-rata. Dengan menggunakan tabel berikut, kita dapat membuat grafik yang terbentuk.
Grafik yang terbentuk adalah sebagai berikut.
Soal Latihan
1. Tentukan apakah tiap tabel berikut menunjukkan perbandingan berbalik nilai. Jika iya, jelaskan.
Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dua besaran bila salah satu besaran nilainya semakin besar maka nilai besaran yang lain akan semakin kecil dan sebaliknya.
2. Tentukan persamaan dari grafik berikut.
Diketahui pada gambar 1 terlampir, titik yang diketahui adalah (4, 1) artinya, x₁ = 4 dan y₁ = 1. Kemudian persamaan dari fungsi tersebut, yaitu :
y/y₁ = x₁/x
⇔y/1 = 4/x
⇔y = 4/x
Diketahui pada gambar 2 terlampir, titik yang diketahui adalah (2, 6), artinya x₁ = 2 dan y₁ = 6. Kemudian persamaan dari fungsi tersebut, yaitu :
y/y₁ = x₁/x
⇔y/6 = 2/x
⇔y = 12/x
3. Andrea mengatakan bahwa persamaan y /2= 8/x bukanlah persamaan perbandingan berbalik
nilai karena bentuknya tidak y = k/x . Jelaskan dan perbaiki kesalahan yang disampaikan oleh
Andrea.
Persamaan y /2= 8/x merupakanpersamaan perbandingan berbalik nilai karena dapat diubah menjadi y = k/x dengan cara silang kali konstanta pada ruas kiri, sehingga :
4. Pak Fatkhur adalah seorang penyedia jasa tukang bangunan (kuli bangunan). Beliau berpengalaman dalam proyek-proyek pembangunan rumah tinggal, karena beliau sendiri juga seorang tukang bangunan. Beliau menjelaskan bahwa dalam menyelesaikan sebuah rumah dapat diselesaikan oleh 5 tukang, termasuk pak Fatkhur sendiri, selama 2 bulan sampai selesai finishing. Untuk mempercepat penyelesaian bangunan, Pak Fatkhur sanggup menyediakan tukang tambahan sesuai dengan permintaan pelanggan. Pak Fatkhur dan 9 temannya pernah membangun rumah selama 1 bulan.Nah, sekarang coba kalian duga, berapa lama yang dibutuhkan oleh Pak Fatkhur dan 5 orang temannya untuk menyelesaikan sebuah rumah yang ukurannya sama seperti yang dijelaskan di atas?
Jika pelanggan Pak Fatkhur ingin memiliki rumah yang bisa diselesaikan selama 25 hari, berapa pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah?
5/6 = w/60
⇔ 6w = 5 x 60
⇔ 6w = 300
⇔ w = 300/6
⇔ w = 50
Jadi, waktu yang dibutuhkan Pak Fathur dan 5 orang tukang untuk menyelesaikan sebuah rumah yang ukurannya sama seperti yang dijelaskan di atas adalah 50 hari.
⇔ 25t = 5 x 60
⇔ 25t = 300
⇔ t = 300/25
⇔ t = 12
Jadi, jika pelanggan Pak Fathur ingin memiliki rumah yang bisa diselesaikan selama 25 hari, maka tukang yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah adalah 12 orang. Atau tambahan tukang adalah 12 - 5 = 7 orang.
5. Jarak kota P ke kota Q adalah 60 km. Grafik di bawah ini menunjukkan hubungan antara
kecepatan sepeda motor (km/jam) dan waktu yang diperlukan (jam).
a) Dengan menggunakan grafik di atas, tentukan kecepatan kendaraan bila waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perjalanan dari kota P ke Q adalah 1,5 jam. Jelaskan bagaimana kalian memperoleh jawaban.
V = s/t = 40/1,5 = 26,67 km/jam.
b) Dapatkah kalian menentukan persamaan grafik di atas? Jelaskan.
Persamaan dari grafik pada gambar , yaitu :
s/s₁ = t₁/t
⇔s/60 = 1/t
⇔s = 60/t
Jika t = 1,5 jam, maka s = 60/1,5 = 40 km dan kecepatannya V = s/t = 40/1,5 = 26,67 km/jam.
c) Pertanyaan terbuka
Dapatkah kalian menentukan kecepatan yang dibutuhkan pengendara untuk menempuh total lama perjalanan pergi dan perjalanan pulang selama 3 jam? Bagaimana kalian menentukannya.
Jika t = 3 jam, maka s = 60/3 = 20 km dan kecepatannya V = s/t = 20/3 = 6,67 km/jam.
Ayo Kita Amati
Kecepatan dan waktu tempuh
Alan mengendarai sepeda motor dan menempuh jarak 480 km ketika mudik. Setiap kali mudik, dia mencoba dengan kecepatan rata-rata yang berbeda dan mencatat lama perjalanan. Tabel 5.3 di bawah ini menunjukkan kecepatan rata-rata motor dan waktu yang ditempuh.
| Kecepatan Rata-rata (x) (km/jam) | 80 | 75 | 60 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Waktu (y) (jam) | 6 | 6,4 | 8 | 12 |
Ayo Kita Menggali Informasi
Alan ingin mengetahui lama perjalanan yang ditempuh jika dia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Alan menyelesaikannya seperti berikut.
80 × 6 = 480
75 × 6,4 = 480
60 × 8 = 480
40 × 12 = 480
480 merupakan konstanta perbandingan. xy = 480, atau y = 480/xPerbandingan (rasio) y/x tidak selalu sama. Sedangkan hasil kalinya, x × y adalah konstan, yang selalu sama. Karena hasil kali dua variabel adalah konstan, kondisi ini dikatakan perbandingan berbalik nilai. y berbanding tebalik terhadap x. Hubungan ini dapat ditunjukkan oleh persamaan xy = k, atau y = k/x dengan k adalah konstanta.
Alan menggunakan persamaan untuk menentukan waktu yang ditempuh dengan kecepatan 50 km/jam. Dengan mesubstitusi 50 km/jam untuk nilai x, dapat ditentukan nilai y, waktu yang ditempuh.
| y= | 480 | menyatakan hubungan antara dua variabel |
| x |
| Waktu yang ditempuh = | 480 |
| kecepatan rata - rata sepeda motor yang dikendarai |
| y= | 480 | , y = | 480 | , y = 9,6 |
| x | 50 |
Ayo Kita Menalar
Setelah kalian mengamati, menanya, dan menggali informasi dari Masalah 5.2. Tuliskan jawaban
pertanyaan berikut pada buku catatan kalian dan diskusikan dengan temanmu.
- Untuk persamaan y = k/x, bagaimakah nilai y jika nilai x mengalami kenaikan? Jika itu adalah perbandingan senilai maka jika y mengalami kenaikan maka x akan mengalami kenaikan juga. Tapi jika itu berbalik nilai maka jika y mengalami kenaikan maka x akan mengalami penurunan
- Dari persamaan perbandingan berbalik nilai, bagaimanakah bentuk grafiknya? Apakah melalui titik asal (0, 0), apakah memotong sumbu koordinat? Grafik yang terjadi merupakan kurva mulus (bukan garis lurus) yang melalui titik-titik yang merupakan pasangan bilangan pada tabel di atas. Grafik tersebut tidak melalui titik asal (0, 0) dan pada titik tertentu akan memotong sumbu koordinat.
Persamaan yang terbentuk adalah y = 480/x . y adalah waktu yang ditempuh dan x adalah kecepatan rata-rata. Dengan menggunakan tabel berikut, kita dapat membuat grafik yang terbentuk.
| Kecepatan Rata-rata (x) (km/jam) | 80 | 75 | 60 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Waktu (y) (jam) | 6 | 6,4 | 8 | 12 |
| Pasangan terurut (x, y) | (80, 6) | (75, 6,4) | (60, 8) | (40, 12) |
Grafik yang terbentuk dari persamaan perbandingan berbalik nilai tidak melewati titik asal (0, 0) dan tidak memotong sumbu koordinat.Grafik di samping, x dan y menunjukkan perbandingan berbalik nilai. Manakah persamaan berikut yang menyatakan hubungan x dan y?
Soal Latihan
1. Tentukan apakah tiap tabel berikut menunjukkan perbandingan berbalik nilai. Jika iya, jelaskan.
| a | b | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 2 | 6 | 8 | x | 3 | 5 | 6 |
| y | 8 | 14 | 32 | y | 12 | 32 | 24 |
| c | d | ||||||
| x | 1 | 2 | 3 | x | 1 | 2 | 4 |
| y | 16 | 8 | 6 | y | 12 | 6 | 3 |
- Tabel pertama (a), perbandingan senilai karena semakin naik nilai x , nilai y juga naik
- Tabel kedua (b) bukan perbandingan senilai juga bukan berbalik nilai , karena pola x naik turun, pola y naik.
- Tabel ketiga (c) perbandingan berbalik nilai karena pola x naik, pola y turun
- Tabel keempat (4) perbandinga berbalik nilai karena pola x naik, pola y turun
2. Tentukan persamaan dari grafik berikut.
y/y₁ = x₁/x
⇔y/1 = 4/x
⇔y = 4/x
Diketahui pada gambar 2 terlampir, titik yang diketahui adalah (2, 6), artinya x₁ = 2 dan y₁ = 6. Kemudian persamaan dari fungsi tersebut, yaitu :
y/y₁ = x₁/x
⇔y/6 = 2/x
⇔y = 12/x
3. Andrea mengatakan bahwa persamaan y /2= 8/x bukanlah persamaan perbandingan berbalik
nilai karena bentuknya tidak y = k/x . Jelaskan dan perbaiki kesalahan yang disampaikan oleh
Andrea.
Persamaan y /2= 8/x merupakanpersamaan perbandingan berbalik nilai karena dapat diubah menjadi y = k/x dengan cara silang kali konstanta pada ruas kiri, sehingga :
| y | = | 8 | , y = | 8 x 2 | , y = | 16 |
| 2 | x | x | x |
4. Pak Fatkhur adalah seorang penyedia jasa tukang bangunan (kuli bangunan). Beliau berpengalaman dalam proyek-proyek pembangunan rumah tinggal, karena beliau sendiri juga seorang tukang bangunan. Beliau menjelaskan bahwa dalam menyelesaikan sebuah rumah dapat diselesaikan oleh 5 tukang, termasuk pak Fatkhur sendiri, selama 2 bulan sampai selesai finishing. Untuk mempercepat penyelesaian bangunan, Pak Fatkhur sanggup menyediakan tukang tambahan sesuai dengan permintaan pelanggan. Pak Fatkhur dan 9 temannya pernah membangun rumah selama 1 bulan.Nah, sekarang coba kalian duga, berapa lama yang dibutuhkan oleh Pak Fatkhur dan 5 orang temannya untuk menyelesaikan sebuah rumah yang ukurannya sama seperti yang dijelaskan di atas?
Jika pelanggan Pak Fatkhur ingin memiliki rumah yang bisa diselesaikan selama 25 hari, berapa pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah?
| Tukang (Orang) | Waktu |
|---|---|
| 5 orang (4 tukang+ Pak Fathur | 60 |
| 10 orang (9 tukang+Pak Fathur | 30 |
| 6 orang (5 tukang+ Pak Fathur | w |
| 25 |
| 5 | = | w |
| 6 | 60 |
⇔ 6w = 5 x 60
⇔ 6w = 300
⇔ w = 300/6
⇔ w = 50
Jadi, waktu yang dibutuhkan Pak Fathur dan 5 orang tukang untuk menyelesaikan sebuah rumah yang ukurannya sama seperti yang dijelaskan di atas adalah 50 hari.
| 10 | = | 25 |
| t | 60 |
⇔ 25t = 300
⇔ t = 300/25
⇔ t = 12
Jadi, jika pelanggan Pak Fathur ingin memiliki rumah yang bisa diselesaikan selama 25 hari, maka tukang yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah adalah 12 orang. Atau tambahan tukang adalah 12 - 5 = 7 orang.
5. Jarak kota P ke kota Q adalah 60 km. Grafik di bawah ini menunjukkan hubungan antara
kecepatan sepeda motor (km/jam) dan waktu yang diperlukan (jam).
V = s/t = 40/1,5 = 26,67 km/jam.
b) Dapatkah kalian menentukan persamaan grafik di atas? Jelaskan.
Persamaan dari grafik pada gambar , yaitu :
s/s₁ = t₁/t
⇔s/60 = 1/t
⇔s = 60/t
Jika t = 1,5 jam, maka s = 60/1,5 = 40 km dan kecepatannya V = s/t = 40/1,5 = 26,67 km/jam.
c) Pertanyaan terbuka
Dapatkah kalian menentukan kecepatan yang dibutuhkan pengendara untuk menempuh total lama perjalanan pergi dan perjalanan pulang selama 3 jam? Bagaimana kalian menentukannya.
Jika t = 3 jam, maka s = 60/3 = 20 km dan kecepatannya V = s/t = 20/3 = 6,67 km/jam.
